Tanım ve Görüntü Kümeleri/Tipik Sorular 

Fonksiyon	Tanım Kümesi	Görüntü Kümesi
arcsinx	−1≤x≤1	−π2≤y≤π2
arccosx	−1≤x≤1	0≤y≤π
arctanx	R	−π2<y<π2
arccotx	R	0<y<π

Bir fonksiyonun tersi, görüntü kümesi ve tanım kümesinin yerini değiştirir ve asıl fonksiyonun yaptığı eşlemenin tersini yapar. f(3)=5 ise fonksiyon 3'ü 5'e eşliyordur ve tersi f−1'in 5'i 3'e eşlemesi gerekir, f−1(5)=3.

f(3)f−1(5)→5→3

Sinüs ve kosinüste tanım kümesi tüm reel sayılardır ancak görüntü kümesi bildiğimiz gibi [−1,1] aralığındadır. Bir fonksiyon ancak bire-bir ve örten ise tersi de fonksiyon olur. Sinüsün tersini sin−1 ile gösterebiliriz. Sinüs fonksiyonu bir açıyı [−1,1]aralığında bir sayıya eşler, örneğin sinπ6=12. Ters fonksiyon da 12 yi π6 ya eşlemelidir, sin−1(12)=π6. Ancak sinüsü 12olan başka açılar da vardır. Bu da ters çevirdiğimizde fonksiyon olmayı engeller, çünkü bir değer iki farklı açıya eşlenmektedir. Bir elemanın iki farklı görüntüsü olamaz. Bu sorunu, ters trigonometrik fonksiyonların görüntü kümesini sınırlayarak çözüyoruz. Sinüs fonksiyonu için bu aralık −π2,π2 olarak seçilir. Ters trigonometrik fonksiyonları göstermek için yaygın olarak arc ön eki de kullanılır. Yukarıdaki tabloda ters trigonometrik fonksiyonların tanım ve görüntü kümeleri görülmektedir. Temelde bu fonksiyonları iki tip soru için kullanacağız. Birincisi, sinüs değerinden açıyı anlayacağız. Bu durumda verilen sinüs değeri özel açılardan olacak. İkinci olarak da soru, ters ve normal trigonometrik fonksiyonların bileşkesini içerecek ve bu durumda çoğunlukla bir diküçgen kullanacağız. Aşağıda iki duruma da örnek verilmektedir.

Örnek

arcsin−3√2 ifadesinin değeri nedir?

Çözüm

Sinüsü −3√2 olan açılardan fonksiyonun görüntü kümesinde olan −π6 dır. Verilen ifadede şu dönüşümü yapabilmek de önemlidir:

arcsin−3√2=x⇒sinx=−3√2

Örnek

arctan(−1)=x ise x nedir?

Çözüm

Tanjantı −1 olan açılar π4 ün simetrikleridir ve görüntü kümesi içinde olan açı da −π4 tür.

Örnek

sinarccos13 ifadesinin değeri nedir?

Çözüm

Bu soru özel açı içermediği için önemlidir. arccos13 ifadesinin hangi açı olduğunu bilmiyoruz. Ancak bize zaten bu açı değil, bu açının sinüsü sorulmakta. arccos13=x diyelim.

arccos13=x⇒cosx=13

arccos13=x dönüşümünü soruda da yaparsak sinx in sorulduğu görülür. Bu durumda x in kosinüsü verilmiş ve sinüsü sorulmaktadır. Bir dik üçgen çizelim ve x açısının kosinüsünü 13 yapalım.

Örnek

sinarcsin14 ifadesinin değeri nedir?

Çözüm

Bu, sevilen bir şaşırtmadır. Bir fonksiyon ile tersinin birleşiminin sonucu birim fonksiyondur ve birim fonksiyon da her elemanı kendisiyle eşler. Cevap 14 tür. Soruyu şöyle de okuyabiliriz: arcsin14 ifadesi sinüsü 14 olan açıyı anlatmaktadır. Dolayısıyla sinüsü 14 olan açının sinüsü sorulmaktadır.

Örnek

sin(2⋅arcsin23) ifadesinin değeri nedir?

Çözüm

Bu soru bir önceki örnekle aynı değildir, burada fonksiyon ile tersinin birleşimi yoktur. arcsin23 ifadesi, sinüsü 23 olan açıya eşittir. Ancak bu açının değil, 2 katının sinüsü sorulmakta.

arcsin23=x⇒sinx=23

arcsin23=x eşitliğini soruda da kullanırsak:

sin(2⋅arcsin23)=sin2x

sin2x sorulmakta ve x açısının bir oranını bilmekteyiz. sinx=23 ise dik üçgen yardımıyla cosx=5√3çıkar.

sin2x=2sinxcosx=2⋅23⋅5√3=45√9

Ters Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri